Modélisation mathématique
En l’absence de toute information sur la fonction qui lie la réponse aux facteurs,
on se donne a priori une loi d’évolution dont la formulation la plus générale est la
suivante : y = f (x1,x2,x3,…,xn)
Cette fonction est trop générale et il est d’usage d’en prendre un développement
limité de Taylor-Mac Laurin, c’est-à-dire une approximation.
– y est la grandeur à laquelle s’intéresse l’expérimentateur ; c’est la réponse ou la
grandeur d’intérêt,
– xi représente un niveau du facteur i,
– xj représente un niveau du facteur j,
– a0, ai, aij, aii sont les coefficients du polynôme.
Ce modèle est appelé le modèle a priori ou le modèle postulé.
Modélisation expérimentale
Cet écart est le manque d’ajustement (lack of fit en anglais), on le note par la lettre Δ.
Les dispersions ainsi constatées sont appelées erreurs aléatoires ou erreurs expérimentales (pure error en anglais) et on les note par la lettre Ɛ.
La relation générale {1.2} doit être modifiée ainsi :
y = f (x1,x2,x3,…,xn) + Δ + Ɛ
Système d’équations
Chaque point expérimental apporte une valeur de la réponse. À la fin du plan d’expériences, on a un système de n équations (s’il y a n essais) à p inconnues (s’il y a p coefficients dans le modèle choisi a priori).
y = X a + e
– y est le vecteur des réponses,
– X est la matrice de calcul des coefficients ou matrice du modèle qui dépend des
points expérimentaux choisis pour exécuter le plan et du modèle postulé,
– a est le vecteur des coefficients,
– e est le vecteur des écarts.
La plupart du temps cette méthode est basée sur le critère d’optimisation des moindres carrés. Le résultat de ce calcul est :
â = (X’ X)–1 X’ y
Formule dans laquelle la matrice X’ est la matrice transposée de X.
Deux matrices interviennent constamment dans la théorie des plans d’expériences:
– la matrice d’information X’ X,
– la matrice de dispersion (X’ X)–1.
- Enseignant: Abdelkader HADJ SEYD
Pour présenter l’espace expérimental nous utiliserons un espace à deux dimensions,
ce qui facilitera les représentations graphiques. Il est ensuite facile d’étendre
les notions introduites à des espaces multidimensionnels.
Cet espace est appelé l’espace expérimental (figure 1.2). L’espace expérimental comprend tous les points du plan « facteur 1 x facteur 2 » et chacun d’eux représente une expérience.
Domaine d’un facteur
La valeur donnée à un facteur pour réaliser une expérience est appelée niveau.
S’il y a plusieurs facteurs, chacun d’eux à son domaine de variation. Afin d’avoir une représentation commune pour tous les facteurs, on a l’habitude d’indiquer les niveaux bas par –1 et les niveaux hauts par +1. La vitesse de 80 km/h est le niveau –1 et celle de 120 km/h est le niveau +1.
Variables centrées réduites
Le passage des variables d’origine A aux variables codées x, et inversement, est donné
par la formule suivante (A0 est la valeur centrale en unités courantes) :
Application
Un expérimentateur choisit pour le facteur « vitesse de la voiture » 80 km/h comme niveau bas et 120 km/h comme niveau haut. Quelle est, en variables codées, la valeur de la vitesse de 90 km/h ?
Calculons le Pas du facteur vitesse. Il est égal à la moitié de la différence entre le niveau haut et le niveau bas :
Points expérimentaux
Plans d’expériences
La procédure de construction des plans dont le domaine est contraint est la suivante :
1. On définit le domaine de chacun des facteurs (niveau bas et niveau haut).
2. On définit les contraintes qui pèsent sur les facteurs. Ces contraintes sont exprimées
par des relations d’inégalité entre les facteurs et elles définissent les zones
autorisées, c’est-à-dire celles où les expériences sont possibles, et les zones interdites,
c’est-à-dire celles où les expériences ne doivent pas être exécutées.
3. On définit les niveaux des facteurs les plus intéressants pour l’étude, autres que
les niveaux bas et hauts. Le plus souvent entre 2 et 5 niveaux supplémentaires par
facteur.
4. On construit une grille en prenant en compte toutes les combinaisons des
niveaux des facteurs. Cette grille ne doit contenir que les points expérimentaux
réalistes, c’est-à-dire les points du domaine autorisé.
5. On choisit une fonction reliant a priori la réponse aux facteurs.
6. On sélectionne, en fonction d’un critère d’optimalité choisi, le nombre et
l’emplacement des points expérimentaux les plus utiles à la modélisation du
phénomène étudié.
Surfaces de réponse
À l’ensemble de tous les points du domaine d’étude correspond un ensemble de réponses qui se localise sur une surface appelée surface de réponse.
Les points d’expériences retenus par la théorie des plans d’expériences assurent la
meilleure précision possible sur la forme et la position de la surface de réponse.
- Enseignant: Abdelkader HADJ SEYD
Ce travail préalable fait partie du métier d’expérimentateur et nous n’insisterons pas. Ce n’est pas sur cette phase du processus que nous voulons faire
porter notre effort de réflexion et d’amélioration.
N’ayant plus que les questions sans réponse immédiate, il faut faire des expériences.
Comment peut-on choisir ces expériences pour :
– arriver rapidement aux meilleurs résultats possibles,
– éviter de réaliser des expériences inutiles,
– obtenir la meilleure précision possible sur les résultats,
– permettre d’avancer à coup sûr,
– établir la modélisation du phénomène étudié,
– découvrir la solution optimale.
Figure 1.1 – Les plans d’expériences optimisent les trois parties encadrées
du processus d’acquisition des connaissances
Les trois aspects essentiels du processus d’acquisition des connaissances sont les
suivantes :
– le choix de la méthode d’expérimentation,
– l’analyse des résultats,
– l’acquisition progressive de la connaissance.
FAITES CONNAISSANCE AVEC LA MÉTHODE DES PLANS D’EXPÉRIENCES
Choix de la méthode d’expérimentation
La méthode d’expérimentation choisie doit faciliter l’interprétation des résultats.
Elle doit également minimiser le nombre des essais sans toutefois sacrifier la qualité.
La théorie des plans d’expériences assure les conditions pour lesquelles on obtient
la meilleure précision possible avec le minimum d’essais.
Analyse des résultats
L’analyse des résultats d’expériences est facilitée par le choix initial des expériences.
Les résultats seront faciles à interpréter et riches d’enseignement si l’on a bien préparé
les expériences.
Acquisition progressive de la connaissance
L’expérimentateur qui entreprend une étude ne connaît pas les résultats, il est
donc sage d’avancer progressivement pour pouvoir réorienter les essais en fonction
des premiers résultats. Une première ébauche permettra de mieux orienter les essais
vers les seuls aspects intéressants de l’étude et d’abandonner les voies sans issues.
réponse
Sous une forme mathématique, on peut écrire que la grandeur d’intérêt, y, que
nous appellerons également réponse par la suite, est une fonction de plusieurs
variables xi
y = f (x1,x2,x3,…,xk)
Les différents types de facteurs
La construction des plans et l’interprétation des résultats dépendent en grande
partie des types de facteurs rencontrés dans l’étude. On distingue plusieurs types
de facteurs.
Facteurs continus
Facteurs discrets
Facteurs ordonnables
Facteurs booléens
- Enseignant: Abdelkader HADJ SEYD
TP - 4
- Enseignant: Abdelkader HADJ SEYD
TP - 3
- Enseignant: Abdelkader HADJ SEYD