Algebra 2

Semestre: 2  Algèbre  2

 

Chapitre 1 : Espaces vectoriels  Applications linéaires

1.       Définition (sur  et.

2.       Sous-espaces vectoriels.

3.       Somme de sous-espaces.

4.       Sous-espaces supplémentaires.

5.       Famille libre. Famille liée. Base (finie).

6.       Définition (opérations).

7.       Noyau et image.

8.       Rang d’une application linéaire.

9.       Théorème du rang.

10.    Caractérisation de l’injection, de la surjection et de la bijection.

Chapitre 2 : Matrices, matrices associées et déterminants

1.       Définition (comme tableau de nombres). Matrices particulières.

2.       Opérations sur les matrices. L’espace vectoriel des matrices.

3.       Déterminants (définition (ordre 2, 3 et généralisation) et propriétés).

4.       Matrice inversible.

5.       Ecriture matricielle d’une application linéaire.

6.       Correspondance entre les opérations sur les applications linéaires et celles sur les matrices.

7.       Matrice de changement de bases (matrice de passage).

8.       Effet d’un changement de base sur la matrice d’une application linéaire.

Chapitre 3 : Systèmes d’équations linéaires

1.       Définitions et interprétations.

2.       Systèmes de Cramer (cas général).

Chapitre 4 : Réduction des matrices.

1.       Valeurs propres.

2.       Vecteurs propres.

3.       Polynômes caractéristiques. Théorème de Cayley-Hamilton.

4.       Caractérisation des matrices diagonalisables.

5.       Caractérisation des matrices trigonalisables.

6.       Applications de la réduction.